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高三数学题已知a>0,函数f(x)=x-ax^-inx..(1)若f(x)是单调函数,求实数a的取值范围,(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明,f(x1)+f(x)2>3-2in2.
更新时间: 2025-08-24 05:20:52
3人问答
问题描述:

高三数学题

已知a>0,函数f(x)=x-ax^-inx..

(1)若f(x)是单调函数,求实数a的取值范围,

(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明,f(x1)+f(x)2>3-2in2.

陈崇超回答:
  (Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x,   导函数g(x)=-1/x-2ax+1=-(2ax+1/x)+1   根据基本不等式得g(x)≤-2根号(2a)+1   ∵f(x)单调   ∴上式小于等于0   ∴a∈[1/8,+∞).   当0<a<1/8时,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,   不妨设x1<x2,   则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f(x)>0,   这时f(x)不是单调函数.   综上,a的取值范围是[1/8,+∞).   (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当a∈(0,18)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2,   且x1+x2=12a,x1x2=12a.   f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax21+x1-lnx2-ax22+x2   =-(lnx1+lnx2)-12(x1-1)-12(x2-1)+(x1+x2)   =-ln(x1x2)+12(x1+x2)+1=ln(2a)+14a+1.   令h(a)=ln(2a)+14a+1,a∈(0,18],   则当a∈(0,18)时,h'(a)=1/a-14a^2=4a-14a^2<0,h(a)在(0,1/8)单调递减,   所以h(a)>g(1/8)=3-2ln2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln2.
黄伟志回答:
  谢谢,,对的吗,?
陈崇超回答:
  应该没问题,你是做作业还是考试呢?
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