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数学题求解答已知函数f(x)=ax^2-4x+2函数g(x)=(1/3)^f(x)①若g(x)有最大值9,求a的值,并求出g(x)的值域②已知a≤1,若函数y=f(x)-log2(x/8)在区间[1,2]内有且仅有一个零点,试确定实数a范围
更新时间: 2025-08-28 14:14:14
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问题描述:

数学题求解答

已知函数f(x)=ax^2-4x+2函数g(x)=(1/3)^f(x)

①若g(x)有最大值9,求a的值,并求出g(x)的值域

②已知a≤1,若函数y=f(x)-log2(x/8)在区间[1,2]内有且仅有一个零点,试确定实数a范围

毛可智回答:
  (1)由已知:g(x)=(1/3)^f(x)有最大值9,   又y=(1/3)^t为减函数,   ∴f(x)=ax^2-4x+2有最小值-2   ∴a>0   (4a×2−4^2)/4a=−2   解得a=1   f(x)=x^2-4x+2=(x-2)^2-2≥-2   ∴函数g(x)=(1/3)^f(x)的值域为(0,9]   (2)∵y=f(x)-log2(x/8)=ax^2-4x+5-(log2x)   设r(x)=ax^2-4x+5,s(x)=log2x(x∈[1,2])   则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点,   当a=0时,r(x)=-4x+5在区间[1,2]内为减函数,   s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3<s(2)=1,   ∴函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点,   当a<0时,r(x)图象开口向下,对称轴为x=2/a<0,   ∴r(x)在区间[1,2]为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,   则由   r(1)≥s(1)   r(2)≤s(2)   ⇒   a+1≥0   4a−3≤1   ⇒-1≤a≤1,   ∴-1≤a<0   当0<a≤1时,r(x)图象开口向上,对称轴为x=2/a≥2,   ∴r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,   则由   r(1)≥s(1)   r(2)≤s(2)   ⇒   a+1≥0   4a−3≤1   ⇒-1≤a≤1,   ∴0<a≤1   综上得,所求a的取值范围为[-1,1].
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