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（2006•四川）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a，（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小；（Ⅲ）求三棱锥P-DEN的
更新时间： 2025-08-29 00:50:18
1人问答
问题描述：

（2006•四川）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a，

（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小；

（Ⅲ）求三棱锥P-DEN的体积．

钱建平回答：
网友采纳
　　法一：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连接MK，NK 　　∵M，N，K分别为AK，CD1，CD的中点 　　∵MK∥AD，NK∥DD1 　　∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1，又MK与NK交于K 　　∴面MNK∥面ADD1A1， 　　∴MN∥面ADD1A1 　　（Ⅱ）设F为AD的中点 　　∵P为A1D1的中点∴PF∥D1D∴PF⊥面ABCD 　　作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，则由三垂线定理得AE⊥PH 　　从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角． 　　在Rt△AEF中，AF＝a2，EF＝2a，AE＝172a
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