第一题已知数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p不等于1,q不等于1,设Cn=an+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和,求Sn/S(n-1)的极限第二题设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式：
更新时间： 2025-08-27 09:29:18
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问题描述：
第一题
已知数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p不等于1,q不等于1,设Cn=an+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和,求Sn/S(n-1)的极限
第二题
设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式：
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t(t>0,n=2,3,4,...)
（1）求证,{an}是等比数列
（2）设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn}使得b1=1,bn=f(1/b(n-1))(n=2,3,4...),求bn
（3）求和：b1b2-b2b3+班背-...+b2n-1b2n-b2nb2n+1
陈显回答：
设San,Sbn分别为{an}{bn}前n项的和,有
San=a1(1-p^n)/(1-p),Sbn=b1(1-q^n)/(1-q)
由Cn=an+bn得,Sn＝San+Sbn
＝a1(1-p^n)/(1-p)+b1(1-q^n)/(1-q)
Sn/S(n-1)＝[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^n-b1(1-p)q^n]/
[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^(n-1)-b1(1-p)q^(n-1))]
数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,所以p>q>0,根据p与1的关系分两类讨论
1,当1>p>q,时,n—>oo,p^n—>0,q^n—>0,p^(n-1)—>0,q^(n-1)—>0,所以：
Sn/S(n-1)—>[a1(1-q)+b1(1-q)]/[a1(1-q)+b1(1-q)]=1
2,当p>1时,1/p0,(q/p)^(n-1)—>0,(q/p)^n—>0,所以：
Sn/S(n-1)＝[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)q(q/p)^(n-1)]/
[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)(q/p)^(n-1))]—>p
综上：当p1时,limSn/S(n-1)＝p,
（1）证明：当n>1时
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t
3t*S（n＋1)-(2t+3)Sn=3t
两式相减得：3t*a(n+1)-(2t+3)*an=0
故,a(n+1)/an＝2/3＋1/t（常数）
又,3t*S2-(2t+3)S1=3t*(a2+a1)-(2t+3)*a1=3t
整理得：a2/a1=2/3＋1/t（常数)
所以,{an}是等比数列
(2)依题意：f(t)=2/3＋1/t,所以bn＝2/3＋b(n-1)
bn-b(n-1)=2/3（常数）{bn}是首项为1,公差为2/3的等差数列
所以：bn＝1+2(n-1)/3=(1+2n)/3
(3)因为bn公差为2/3,所以,b(k+2)-b(k)=4/3,｛b2n}是以b2=5/3为首项,4/3为公差的等差数列
原式＝b1b2-b2b3+b3b4-b4b5-...+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)
=(-4/3)（b2+b4+…+b2n)
=(-4/3){5n/3+[n*(n-1)/2]*4/3}
=-(8n^2+12n)/9
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