【在底面为直角梯形的四棱锥P--ABCD中,AD//BC,角ABC+90度,PA垂直平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2根号3,BC=61：求证BD垂直平面PAC2求二面角p-bd-a的大小角ABC=90度】
更新时间： 2025-08-25 01:28:44
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问题描述：
在底面为直角梯形的四棱锥P--ABCD中,AD//BC,角ABC+90度,PA垂直平面ABCD,PA=3,AD=2,
AB=2根号3,BC=6
1：求证BD垂直平面PAC
2求二面角p-bd-a的大小
角ABC=90度
龚德利回答：
1、设BD和AC交于O,
在平面ABCD上作DE//DC,交BC延长线于E,则四边形ADEC是平行四边形,
CE=AD=2,
BE=BC+CE=8,
〈ABC=〈BAD=90°,
根据勾股定理,
AC=4√3,
DE=AC=4√3,
BD=4,
BD^2+DE^2=64,
BE^2=64,
则△DBE是RT△,
〈BDE=90°,
AC//DE,
〈BOC=〈BDE=90°,（同位角相等）,
∴BD⊥AC,
PA⊥平面ABCD,
BD∈平面ABCD,
则PA⊥BD,
PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
2、连结PO,
由前所述,BD⊥AC,
AO是PO在平面ABCD上的射影,
根据三垂线定理,
PO⊥BD,
〈AOP就是二面角P-BD-A的平面角,
在RT△ABD中,
S△ABD=AB*AD/2=2√3,
S△ABD=BD*AO/2=4*AO/2=2AO,
2AO=2√3,
AO=√3,
tan<AOP=PA/OA=3/√3=√3,
〈AOP=60°,
∴二面角P-BD-A的大小为60°.
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