设小车和圆心连线与竖直向下方向的夹角为a,小车在水平直径上下两个不同位置受力情况如下:
小车在直径下,即a《90
Fn-mgcosa=mv^2/R,即Fn=mgcosa+mv^2/R
在水平直径之上,即a》90
Fn+mgcos(180-a)=mv^2/R,即Fn=mgcosa+mv^2/R
因此Fn可用统一的表达式,Fn=mgcosa+mv^2/R,
所以Ff=uFn=umgcosa+umv^2/R
在小车运动方向取一微元△s,则△S=R*△a
△W=-Ff*△s=-(umgcosa+umv^2/r)△ar=-umgrcosa△a-umv^2△a,
w=∑△w=-umgR∑cosa△a-umv^2∑△a
其中(从0到pi)∑△a=pi(弧度制中的3.1415.)
而∑cosa△a可用单位圆处理.
得
∑cosa△a=0,
所以W=-umv^2*pi