习题课中，老师给出了这样一个题目：已知关于x的二次函数y=-x2+ax（a>0），点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数图象上，其中n为正整数．教师：现在有以下几个结论：
更新时间： 2025-08-30 17:03:04
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问题描述：
习题课中，老师给出了这样一个题目：已知关于x的二次函数y=-x2+ax（a>0），点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数图象上，其中n为正整数．
教师：现在有以下几个结论：
①此二次函数与坐标轴有且只有两个交点；
②若y1=y2则a必为奇数；
③若a=11，且y1≤y2≤y3，则n可取大于等于5的正整数．
④若a=4，不存在正整数n，使得△ABC是以AC为底边的等腰三角形．
请你判断结论的真假，并说明理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
牛艳美回答：
①真命题 证明：令y=0得x1=0，x2=a，则与x轴的两个交点为（0，0）、（a，0）；
令x=0得y=0，则与y轴的交点坐标为（0，0）．
综上得，函数与坐标轴有且仅有两个交点．
②真命题．证明如下：
∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函数y=-x2+ax（a>0）的图象上，
∴y1=-n2+an，y2=-（n+1）2+a（n+1）
∵y1=y2，
∴-n2+an=-（n+1）2+a（n+1）
整理得：a=2n+1
∴a必为奇数；
③假命题．证明如下：
当a=11时，∵y1≤y2≤y3
∴-n2+11n≤-（n+1）2+11（n+1）≤-（n+2）2+11（n+2）
化简得：0≤10-2n≤18-4n，
解得：n≤4，
∵n为正整数，
∴n=1、2、3、4．
故该命题为假命题；
④假命题
方法一：举反例：当n=1时，存在这样的等腰三角形，故该命题是假命题．
方法二：证明：假设存在，则BA=BC，如右图所示．
过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．
∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，
∴AD=CE=1．
在Rt△ABD与Rt△CBE中，AB=BCAD=CE
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