与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移．（1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标______；
更新时间： 2025-08-28 09:12:55
1人问答
问题描述：
与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移．
（1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标______；
（2）继续向右平移，得到△A2B2C2，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；
（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
代锋回答：
，
解得；x=，
∴A1点的坐标是（，3），
故答案为：（，3）；
（2）设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，
在等边三角△A2B2C2中，高A2H=3，
∴A2B2=2，HB2=，
∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，
∴∠PB2H=30°，
∴PH=1，即y=1，
将y=1代入，
解得：x=3，
∴P（3，1）；
（3）∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，
∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，
∴点P满足的条件，由（2）得P（3，1），
由（2）得，C2（4，0），点C2满足直线的关系式，
∴点C2与点M重合，
∴∠PMB2=30°，
设点Q满足的条件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能构成等腰三角形，
此时QA2=QB2，B2Q=B2C2，A2Q=A2C2，
作QD⊥x轴与点D，连接QB2，
∵QB2=2，∠QB2D=2∠PMB2=60°，
∴QD=3，
∴Q（，3），
设点S满足的条件，△SA2B2，△C2B2S，△C2PA2是等腰三角形，
此时SA2=SB2，C2B2=C2S，C2A2=C2S，
作SF⊥x轴于点F，
∵SC2=2，∠SB2C2=∠PMB2=30°，
∴SF=，
∴S（4-3，），
设点R满足的条件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能构成等腰三角形，
此时RA2=RB2，C2B2=C2R，C2A2=C2R，
作RE⊥x轴于点E，
∵RC2=2，∠RC2E=∠PMB2=30°，
∴ER=，
∴R（4+3，-），
答：存在四个点，分别是P（3，1），Q（，3），S（4-3，），R（4+3，-）．
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