（2007•海淀区一模）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1C⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角B1-CD-B的正切值．
更新时间： 2025-08-29 07:22:50
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问题描述：
（2007•海淀区一模）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．
（Ⅰ）求证：A1C⊥BD；
（Ⅱ）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B1-CD-B的正切值．
石秀芳回答：
（I）连AC，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD
又侧棱AA1⊥平面ABCD
∴AC是A1C在平面ABCD上的射影
∴A1C⊥BD（三垂线定理）；（4分）
（II）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，
所以B1C是A1C在平面BB1C1C上的射影
∴∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，（6分）
在直角三角形A1CB1，A1B1⊥B1C，A1B1=2，
B
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