椭圆C：x^2/a^2+y^2=1（a〉1）,右焦点F,过F做倾斜角为45°的直线交椭圆于AB两点,若向量AF=2FB,求椭圆方程
更新时间： 2025-08-22 16:52:27
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问题描述：
椭圆C：x^2/a^2+y^2=1（a〉1）,右焦点F,过F做倾斜角为45°的直线交椭圆于AB两点,
若向量AF=2FB,求椭圆方程
戴文刚回答：
设直线AB交椭圆的右准线于点G,
作点A、B、F到椭圆的右准线的垂线,垂足分别为C、D、E；
则有：GC/GD=AC/BD=AF/BF=2,CE/DE=AF/BF=2,
可得：CE=2DE,GD=CD=CE+DE=3DE,GC=2GD=6DE,GE=GD+DE=4DE,
所以,BD/EF=GD/GE=3/4；
设右焦点F的坐标为(c,0),
则有：a²=c²+1,椭圆的右准线为x=a²/c=(c²+1)/c=c+1/c；
所以,EF=c+1/c-c=1/c,BD=(3/4)EF=3/(4c),
可得：点B的横坐标为c+1/c-3/(4c)=c+1/(4c)；
依题意,△GBD、△GFE都是等腰直角三角形,
所以,DE=GE-GD=EF-BD=1/(4c),
可得：点B的纵坐标为1/(4c)；
将点B的坐标代入椭圆方程,可得：[c+1/(4c)]²/a²+[1/(4c)]²=1,
将a²=c²+1代入可得：[c+1/(4c)]²/(c²+1)+[1/(4c)]²=1,
解得：c²=2/7,
可得：a²=c²+1=9/7；
所以,椭圆方程为7x²/9+y²=1.
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