已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）设OC与BE相交于点G，若OG=3，求⊙O半径的长．
更新时间： 2025-08-31 12:51:41
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问题描述：
已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG=3，求⊙O半径的长．
秦绪柏回答：
（1）证明：连接OC．
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO（3分）
∵OE⊥AC∠FCA=∠AOE
∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°（5分）
∴∠FCO=90°
∴FD是⊙O的切线（7分）
（2）连接CB．
∵AO=OB，OE⊥AC
∴AE=EC，OE∥CB（3分）
AO：AB=OE：CB=1：2，∠COE=∠OCB，∠CBE=∠BEO，
∴△EGO∽△BGC（5分）
OG：GC=OE：BC=1：2
∴CG=6
半径OC=9（7分）
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