已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-k-2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）△ABC中，一边的长为5，其余两边的长是该方程的两个实数根，当△ABC是等腰三角形时，求k的值及
更新时间： 2025-08-28 21:50:38
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问题描述：
已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-k-2=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）△ABC中，一边的长为5，其余两边的长是该方程的两个实数根，当△ABC是等腰三角形时，求k的值及△ABC的周长．
李元明回答：
（1）∵△=[-（2k-1）]2-4×1×（k2-k-2）=9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有两个不相等的实数根，△ABC其余两边的长是该方程的两个实数根，
∴△ABC其余两边的长不相等，
∵△ABC一边的长为5，△ABC是等腰三角形，
∴△ABC的腰长为5，
∴方程x2-（2k-1）x+k2-k-2=0有一个根是5，
∴52-5（2k-1）+k2-k-2=0，
∴k1=4，k2=7，
当k=4时，方程x2-（2k-1）x+k2-k-2=0变形为x2-7x+10=0，该方程的两个实数根是x1=2，x2=5，△ABC的周长是5+5+2=12．
当k=7时，方程x2-（2k-1）x+k2-k-2=0变形为x2-13x+40=0，该方程的两个实数根是x1=8，x2=5，△ABC的周长是5+5+8=18．
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