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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,点M、N分别在侧棱PD、PC上,且PM=MD.(1)求证:AM⊥平面PCD;(2)若,求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的余弦值.____
更新时间: 2025-08-22 16:51:17
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问题描述:

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,点M、N分别在侧棱PD、PC上,且PM=MD.

(1)求证:AM⊥平面PCD;

(2)若,求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的余弦值.

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万军回答:
  【分析】(Ⅰ)欲证AM⊥平面PCD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AM与平面PCD内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知CD⊥AM,根据等腰三角形可知AM⊥PD,又PD∩CD=D,满足定理所需条件;   (Ⅱ)以点A为坐标原点,以AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,根据=0可知PC⊥AN,从而平面AMN的法向量为,而平面PAB的法向量可为,求出两平面的法相交的夹角即可求出平面AMN与PAB所成锐二面角的余弦值.   证明:(Ⅰ)∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,   ∴PA⊥CD,AD⊥CD,   ∴CD⊥侧面PAD,   ∴CD⊥AM.   又PA=AD=2,   ∴AM⊥PD.   又PD∩CD=D,   ∴AM⊥平面PCD;   (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz   又PA=AD=2,   则有P(0,0,2),D(0,2,0)   M(0,1,1),C(2,2,0)   ∴=(2,2,-2).   设N(x,y,z),   ∵,则有   x-0=,   ∴.   同理可得y=.   即得.   由=0,   ∴PC⊥AN   ∴平面AMN的法向量为=(2,2,-2),   而平面PAB的法向量可为=(0,2,0),   ∴cos<   故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的余弦值为   【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.
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