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用数学归纳法证明下列题目1.)10^n+3*4^(n+2)+5能被9整除2.)4*6^n+5^(n+2)被20除余数必为9
更新时间: 2025-08-28 07:17:51
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问题描述:

用数学归纳法证明下列题目

1.)10^n+3*4^(n+2)+5能被9整除

2.)4*6^n+5^(n+2)被20除余数必为9

郭艺夺回答:
  1)证明:若n=1,原式=10+192+5=207能被9整除,成立   假设当n=k(k≥2)时成立,则设10^k+3×4^(k+2)+5=9m(m∈N*),有5=9m-10^k-3×4^(k+2)   则当n=k+1时,原式=10×10^k+12×4^(k+2)+5   =10×10^k+12×4^(k+2)+【9m-10^k-3×4^(k+2)】   =9m+9×10^k+9×4^(k+2)   =9【m+10^k+4^(k+2)】能被9整除   所以原式恒能被9整除   2)【本方法只是在证明过程中又需要证明一个数学归纳的结论,思想都是一样的】   证明:若n=1,则原式=24+125=149被20除余数为9,成立   假设当n=k(k≥2)时成立,则设4×6^k+5^(k+2)=20m+9(m∈N)   则当n=k+1时,原式=24×6^k+5×5^(k+2)   =5【4×6^k+5^(k+2)】+4×6^k   =100m+45+4×2^k×3^k   =20×5m+36【1+2^k×3^(k-2)】+9   所以接下来要证明括号里的1+2^k×3^(k-2)(k≥2)是5的倍数即可   当k=2时,原式=5成立   设当k=p(p≥3)成立,则设1+2^p×3^(p-2)=5q(q∈N*),有1=5q-2^p×3^(p-2)   则当k=p+1时,原式=1+2×2^p×3×3^(p-2)   =【5q-2^p×3^(p-2)】+6×2^p×3^(p-2)   =5【q+2^p×3^(p-2)】能被5整除   所以1+2^k×3^(k-2)恒能被5整除,设1+2^k×3^(k-2)=5x(x∈N*)   回到原题:   当n=k+1时,原式=20×5m+36【1+2^k×3^(k-2)】+9   =20×5m+36×5x+9=20(5m+9x)+9被20除余9,成立   所以原式恒成立
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