设函数f（x）=x2+1，若关于x的不等式f（）+4f（m）≤4m2f（x）+f（x-1）对任意x∈[，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是________．
更新时间： 2025-08-23 23:40:48
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问题描述：
设函数f（x）=x2+1，若关于x的不等式f（）+4f（m）≤4m2f（x）+f（x-1）对任意x∈[，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是________．
沙建军回答：
（-∞，-]∪[，+∞）
原不等式不等式f（）+4f（m）≤4m2f（x）+f（x-1）整理得g（x）=（-+4m2+1）x2-2x-3≥0，
即可以转化为g（x）=g（x）=（-+4m2+1）x2-2x-3≥0对任意x∈[，+∞）恒成立．
由于函数g（x）开口向上，对称轴小于等于，所以在x∈[，+∞）上递增．
故只须g（）≥0⇒+4m2-≥0⇒12（m2）2-5m2-3≥0⇒m2≥或m2≤-⇒m≥或m≤-．
故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．
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