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【已知函数f(x)=xlnx.(Ⅰ)若直线l过点(0,1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程;(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)____】
更新时间: 2025-08-24 12:52:12
1人问答
问题描述:

已知函数f(x)=xlnx.

(Ⅰ)若直线l过点(0,1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程;

(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)____

陈贤威回答:
  【分析】(Ⅰ)由于(0,1)不是切点,故先假设切点,利用切点处得导数为切线的斜率,再根据过(0,1),从而可求切点的坐标,进一步可求切线的方程;   (Ⅱ)先确定函数的单调区间,再利用区间进行分类讨论,从而求出函数再区间上的最小值.   (Ⅰ)f′(x)=lnx+1,x>0,(2分)   设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,所以,(4分)   解得x0=1,y0=0,所以直线l的方程为x-y-1=0.(6分)   (Ⅱ)g(x)=xlnx-a(x-1),则g′(x)=lnx+1-a,(7分)   解g′(x)=0,得x=ea-1,所以在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.(8分)   当ea-1≤1,即a≤1时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,所以g(x)最小值为g(1)=0.(9分)   当1<ea-1<e,即1<a<2时,g(x)的最小值为g(ea-1)=a-ea-1.(10分)   当ea-1≥e,即a≥2时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,   所以g(x)最小值为g(e)=a+e-ae.(11分)   综上,当a≤1时,g(x)最小值为0;   当1<a<2时,g(x)的最小值为a-ea-1;当a≥2时,g(x)最小值为a+e-ae.(12分)   【点评】本题考察导数的几何意义,考查利用导数研究函数的最值,应用导数的几何意义求切线时,注意点是否为切点.
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