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【07初二下学期期末数学题已知:如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,点P是射线BC上的一个动点,∠PAQ=60°,交射线CD于点Q,设点P到点B的距离为x,PQ=y.(1)求证:△APQ是等边三角形;(2)】
更新时间: 2025-08-31 00:27:49
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问题描述:

07初二下学期期末数学题已知:如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,点P是射线BC上的一个动点,∠PAQ=60°,交射线CD于点Q,设点P到点B的距离为x,PQ=y.(1)求证:△APQ是等边三角形;(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)如果PD⊥AQ,求BP的值.

李顺东回答:
  (1)联结AC.在菱形ABCD中,∵AB=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB,∠BAC=∠BCA=60°.∵∠PAQ=60°,∴∠BAP=∠CAQ.∵AB∥CD,∠B=60°,∴∠BCD=120°.∴∠ACQ=∠B=60°.∴△ABP≌△ACQ.∴AP=AQ.∴△APQ是等边三角形.(2)由△APQ是等边三角形,得AP=PQ=y.作AH⊥BC于点H,由AB=4,BH=2,∠B=60°,得AH=.∴,即.定义域为x≥0(3)(i)当点P在边BC上时,∵PD⊥AQ,AP=PQ,∴PD垂直平分AQ.∴AD=DQ.∴CQ=0.又∵BP=CQ,∴BP=0.(ii)当点P在边BC的延长线上时,同理可得BP=8.综上所述,BP=0或BP=8.
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