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高中数学题(椭圆)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且PQ长为根号十,求椭圆方程答案为x^2/36+y^2/9=1求详细解答过程
更新时间: 2025-08-18 10:21:49
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问题描述:

高中数学题(椭圆)

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且PQ长为根号十,求椭圆方程

答案为x^2/36+y^2/9=1

求详细解答过程

钱可元回答:
  离心率为二分之根号三,即e=c/a=√3/2   故b^2=a^2-c^2=1/4*a^2   即4b^2=a^2   联立椭圆与直线方程   (2y+8)^2/a^2+y^2/b^2=1   整理得   (4b^2+a^2)y^2+32b^2*y+64b^2-a^2b^2=0   即   2a^2y^2+8a^2*y+16a^2-1/4a^4=0   PQ^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2   =(2y1-2y2)^2+(y1-y2)^2   =5(y1-y2)^2   =5(y1+y2)^2-20y1y2   即10=5*4^2-20*(16a^2-1/4a^4)/(2a^2)   整理得   36a^2-1a^4=0   解得a^2=36   所以b^2=9   椭圆方程为   x^2/36+y^2/9=1   【中学数理化解答团】
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