设f(x)在区间(01)上可微,且f(1)＝2∫(0.51)xf(x)dx,证明存在ξ∈证明存在ξ∈（0,1）使f（ξ）＋ξf'（ξ）＝0
更新时间： 2025-08-17 22:05:42
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问题描述：
设f(x)在区间(01)上可微,且f(1)＝2∫(0.51)xf(x)dx,证明存在ξ∈
证明存在ξ∈（0,1）使f（ξ）＋ξf'（ξ）＝0
孙旻回答：
还有一条f(x)在[0,1]上连续吧.
证明:考虑函数g(x)=xf(x),有g(x)也在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.
条件f(1)=2∫xf(x)dx转化为g(1)=∫g(x)dx/(1-0.5).
由开区间版本的第一积分中值定理,存在c∈(0.5,1)使g(c)=∫g(x)dx/(1-0.5)=g(1).
由罗尔中值定理,存在ξ∈(c,1),使g'(ξ)=0,即有f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
之所以要用开区间版本的第一积分中值定理是为了保证c
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