【如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC上一点．（1）若点D是BC的中点，求证：A1C∥平面AB1D；（2）若平面AB1D⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥BC．】
更新时间： 2025-08-28 13:07:22
1人问答
问题描述：
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC上一点．
（1）若点D是BC的中点，求证：A1C∥平面AB1D；
（2）若平面AB1D⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥BC．
史一民回答：
证明：（1）连接A1B，设AB1∩A1B=E，
则E为A1B 的中点，
连接DE，由D是BC的中点，
可得DE是△A1BC的中位线．
∴DE∥A1C，
又DE⊂平面AB1D，且A1C⊄平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D．
（2）在平面BCC1B1中过点B作BF⊥B1D，
∵平面AB1D⊥平面BCC1B1，
平面AB1D∩平面BCC1B1=B1D，
∴BF⊥平面AB1D，
又∵AD⊂平面AB1D
∴BF⊥AD，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AD，
又BB1∩BF=B，
∴AD⊥平面BCC1B1，
又∵BC⊂平面BCC1B1
∴AD⊥BC．
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