如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也
更新时间： 2025-08-22 16:52:30
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问题描述：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）AC=______cm，BC=______cm；
（2）当t=5（s）时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；
（3）设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（4）探求（3）中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．
庞向斌回答：
（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4x）2+（3x）2=102，
解得：x=2，
则AC=8cm，BC=6cm；
故答案为：8，6；
（2）如图1：∵点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，
∴当t=5时，AP=5，
∵点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，
∴CQ=4，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ垂直平分AC，
∴CM=AM，CP=AP，
∴△BCM的周长是：BC+CM+BM=6+CM+BM，
∴当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，
此时，△BCM的周长最小，最小值为：6+10=16；
（3）如图2：当Q在BC上运动时，过Q作QH⊥AB于H，
∵AP=t，BQ=2t，
∴PB=10-t，
∵△BQH∽△BAC，
∴2t10
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