已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值要简洁一点,(1)已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值（2）已知abcd为正整数
更新时间： 2025-08-31 08:25:34
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问题描述：
已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值
要简洁一点,
(1)已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值（2）已知abcd为正整数,且b/a=(4d-7)/c,(b+10/a=(7d-7)/c,则c/a=?d/b=?
打字清楚点
（3)若abc不=0,且(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b,则((a+b)(b+c)(c+a))/abc=?
要求一样
孙书利回答：
∵a+b+c=0,所以c=-a-b,
∴(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=(a-b)/(-a-b)+(b+a+b)/a+(-a-b-a)/b
=(b-a)/(b+a)+2b/a-2a/b,
通分得：(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=(2b^3+3ab^2-3a^2b-2a^2)/[(a+b)ab]
=(2b+a)(b+2a)(b-a)/[(a+b)ab].
∵c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=(b+a)/(b-a)+a/(2b+a)-b/(2a+b),
通分,得c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=9ab(a+b)/[(2b+a)(b+2a)(b-a)],
∴[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9.
由b/a=(4d-7)/c,得c/a=(4d-7)/b
由(b+1)/a=7(d-1)/c,得c/a=7(d-1)/(b+1)
所以：(4d-7)/b=7(d-1)/(b+1)
7b(d-1)=(4d-7)(b+1)
7bd-7b=4db+4d-7b-7
3db=4d-7
得：c/a=(4d-7)/b=3db/b=3d
又因为a,b,c,d均为正整数,3db=4d-7>0,得d>7/4,
又观察得d=7为一个符合条件的值,此时b=1,c/a=21,d/b=7
令k=a+b/c=b+c/a=a+c/b
则a+b=ck
b+c=ak
a+c=bk
相加
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-2)=0
若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
则(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=(-c)(-a)(-b)/abc
=-1
若k-2=0
k=2
则a+b=2c
b+c=2a
a+c=2b
则(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=2c*2a*2b/abc
=8
综上(a+b)(b+c)(c+a)/abc=-1或8
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