设f(x)是区间(a,b)上的连续函数,a＜x1＜x2＜x3＜b,证明：至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=1/3[f(x1)+f(x2)+f(x3)]
更新时间： 2025-08-26 03:49:44
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问题描述：
设f(x)是区间(a,b)上的连续函数,a＜x1＜x2＜x3＜b,证明：至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=1/3[f(x1)+f(x2)+f(x3)]
姬光荣回答：
∵f(x)是区间(a,b)上的连续函数
∴f(x)在区间(a,b)上必有最大值Fmax,也必有最小值Fmin
同时,对于任一实数r,若有Fmin≤r≤Fmax,则：
直线y=r与曲线y=f(x)必有至少1个交点,即：
至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=r
现考察1/3×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≤1/3×（Fmax+Fmax+Fmax）=Fmax；
同理：1/3×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≥Fmin
令r=1/3×[f(x1)+f(x2)+f(x3)],即得所求结论.
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