如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（I）证明：EB∥平面PAD；（II）若PA=AD=DC，求二面角E-BD-C的余弦值；（III）在（II）的条件下，侧棱PB上是否
更新时间： 2025-08-29 01:26:36
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问题描述：
如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．
（I）证明：EB∥平面PAD；
（II）若PA=AD=DC，求二面角E-BD-C的余弦值；
（III）在（II）的条件下，侧棱PB上是否存在一点M，使得AM∥平面BDE．若存在，求PM：MB的值；若不存在，请说明理由．
彭红樱回答：
（I）证明：取CD中点F，连接EF、BF，
∵E为PC的中点，∴EF∥PD
∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD
∴EF∥平面PAD
∵BF∥AD，BF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD
∴BF∥平面PAD
∵EF∩BF=F
∴平面EBF∥平面PAD
∵EB⊂平面EBF
∴EB∥平面PAD；
（II）建立如图所示的坐标系，
不妨设OB=1，则PA=AD=DC=2
∴B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），
∴BE＝(0，1，1)，BD＝(−1，2，0)
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