已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1/2,an=-2SnSn-1(n≥2).（1）求数列an的通项公式（2）求证：S1^2+S2^2+S3^2+…+Sn^2≤1/2-1/4n.
更新时间： 2025-08-29 22:54:42
1人问答
问题描述：
已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1/2,an=-2SnSn-1(n≥2).
（1）求数列an的通项公式
（2）求证：S1^2+S2^2+S3^2+…+Sn^2≤1/2-1/4n.
陈蓁回答：
1.
n>=2时
An=Sn-S(n-1)
Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0
两边除以SnS(n-1)
1/S(n-1)-1/Sn+2=0
1/Sn-1/S(n-1)=2
{1/Sn}是公差为2的等差数列
2.
1/S1=1/A1=2
1/Sn=2n
Sn=1/(2n)
An=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2n-2)=-1/(2n(n-1))
A1=1/2
3.
Bn=2(1-n)An=1/n
(Bn)^2=1/n^2
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