复变函数的证明题设Z1,Z2,Z3,三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0,IZ1I=IZ2I=IZ3I.证明Z1,Z2,Z3三点是内接于单位圆IZI=1,的一个正三角形的定点
更新时间： 2025-08-26 02:53:03
1人问答
问题描述：
复变函数的证明题
设Z1,Z2,Z3,三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0,IZ1I=IZ2I=IZ3I.证明Z1,Z2,Z3三点是内接于单位圆IZI=1,的一个正三角形的定点
牛悦苓回答：
很简单,但是有一点我认为你可能说的不对,那就是无法求出三点在一个单位圆上
由于|Z1|=|Z2|=|Z3|令|Z1|=|Z2|=|Z3|=r
设Z1=r(cosα+isinα)Z2=r(cosβ+isinβ)Z3=r(cosγ+isinγ)
因为Z1+Z2+Z3=0
则r(cosα+cosβ+cosγ)+ir(sinα+sinβ+sinγ)=0
故cosα+cosβ+cosγ=0sinα+sinβ+sinγ=0
上面两式分别将cosγsinγ移到等式的右边,再两边平方相加
得到2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1
根据两角差的余弦公式得到cos(α-β)=-1/2
同理得到cos(β-γ)=-1/2cos(γ-α)=-1/2
故这里可以知道三点对应的复数的复角的差是120度
这样可以知道Z1Z2Z3不但模相等而且两两夹角相等,所以Z1,Z2,Z3构成等边三角形,并且三点都在一个圆上,该等边三角形内接于该圆
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