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【已知顶点在原点,焦点在y轴的正半轴上的抛物线被直线y=x+2截得的弦长为4又根号6,(1)求抛物线的方程(2)求于直线y=x+2平行且与抛物线相切的直线方程】
更新时间: 2025-08-27 20:17:48
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问题描述:

已知顶点在原点,焦点在y轴的正半轴上的抛物线被直线y=x+2截得的弦长为4又根号6,

(1)求抛物线的方程

(2)求于直线y=x+2平行且与抛物线相切的直线方程

曹永清回答:
  设抛物线方程为x²=2py,p>0   直线方程带入得x²-2px-4p=0   直线与曲线交与A(x1,y1)B(x2,y2)   x1+x2=2p,x1x2=-4p   弦长公式,4√6=√2√[(x1+x2)²-4x1x2]=√2√[4p²+16p]   解得p=2,即取消方程为x²=4y.   设和y=x+2平行的切线为y=x+m带入曲线方程得x²-4x-4m=0,因为切线所以判别式=0   即16+16m=0,即m=-1.所以所求切线方程为y=x-1.
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