椭圆（x^2）/16+（y^2）/9=1,求证明下面的线段关系,用直线参数方程做,椭圆（x^2）/16+（y^2）/9=1,过点A（2,0）的动直线AB交椭圆于M,N点,（其中N点位于A,B之间）,且交直线l:x=8于点B,证明|MA|*|NB|=|AN|*|
更新时间： 2025-08-19 17:16:38
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问题描述：
椭圆（x^2）/16+（y^2）/9=1,求证明下面的线段关系,用直线参数方程做,
椭圆（x^2）/16+（y^2）/9=1,过点A（2,0）的动直线AB交椭圆于M,N点,（其中N点位于A,B之间）,且交直线l:x=8于点B,证明|MA|*|NB|=|AN|*|MB|,求教用参数方程的方法做,写一下要求证明的等式里的t的关系.
饶华球回答：
过点A的直线的参数方程是x=2+tcosα
y=tsinα(t是参数）（α是直线的倾斜角）
其中t的几何意义是：t是点A到直线上的动点的有向线段的数量
椭圆方程为：9x^2+16y^2-144=0
将直线的参数方程代入并整理得关于t的二次方程：
[9(cosα)^2+16(sinα)^2]·t^2+(36cosα)·t-108=0
令AM=t1,AN=t2,AB=t3
则t1+t2=-(36cosα)/[9(cosα)^2+16(sinα)^2]
t1·t2=-108/[9(cosα)^2+16(sinα)^2]
由已知t1和t2异号,|AM|>|AN|即|t1|>|t2|
再将x=8代入方程得：t3=6/(cosα),即|t3|=6/|cosα|
∴|AN|·|MB|-|MA|·|NB|=|AN|·|(|AB|+|AM|)-|AM|·(|AB|-|AN|)
=2|AM|·|AN|-|AB|·(|AM|-|AN|)
=2|t1|·|t2|-|t3|·(|t1|-|t2|)
=2|t1|·|t2|-|t3|·|t1+t2|
=2·108/[9(cosα)^2+16(sinα)^2]-6/|cosα|·(36|cosα|)/[9(cosα)^2+16(sinα)^2]
={216-216)/[9(cosα)^2+16(sinα)^2]=0
∴|MA|·|NB|=|AN|·|MB|
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